Решим задачу. У нас есть два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.
Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.
Получаем,
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.
Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.
Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.
Определение наибольшего общего делителя
- Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка два числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.
Иногда для сокращения записи используют аббревиатуру НОД.
Некоторые пары чисел имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. Например, числа 24 и 35. Имеют НОД =1.
Как найти наибольший общий делитель
Для того чтобы найти наибольший общий делитель не обязательно выписывать все делители данных чисел.
Можно поступить иначе. Сначала разложить на простые множители оба числа.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
Это правило можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.
Общая схема нахождения наибольшего общего делителя
- 1. Разложить числа на простые множители.
- 2. Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.
- 3. Посчитать произведение оставшихся множителей.
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
Например :
Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.
Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным . Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел - 12.
Общий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b . Общий делитель нескольких чисел (НОД) — это число, служащее делителем для каждого из них.
Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так:
Пример : НОД (12; 36) = 12.
Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».
Пример:
НОД (7; 9) = 1
Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми чи слами .
Взаимно простые числа - это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель - число 1. Их НОД равен 1.
Наибольший общий делитель (НОД), свойства.
- Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример : для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
- Следствие 1: множество общих делителей m и n совпадает с множеством делителей НОД(m , n ).
- Следствие 2: множество общих кратных m и n совпадает с множеством кратных НОК (m , n ).
Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
- Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:
и поэтому представим в виде линейной комбинации чисел m и n :
Это соотношение называется соотношением Безу , а коэффициенты u и v — коэффициентами Безу . Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы , порождённая набором , — циклическая и порождается одним элементом: НОД (a 1 , a 2 , … , a n ).
Вычисление наибольшего общего делителя (НОД).
Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм . Кроме того, значение НОД (m ,n ) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители:
где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m ,n ) и НОК (m ,n ) выражаются формулами:
Если чисел более двух: , их НОД находится по следующему алгоритму:
— это и есть искомый НОД.
Также, для того, чтобы найти наибольший общий делитель , можно разложить каждое из заданных чисел на простые множители . Потом выписать отдельно только те множители, которые входят во все заданные числа. Потом перемножаем между собой выписанные числа - результат перемножения и есть наибольший общий делитель.
Разберем пошагово вычисление наибольшего общего делителя:
1. Разложить делители чисел на простые множители:
Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа - делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных. Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64.
2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ:
НОД (28; 64) = 2 . 2 = 4
Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».
Первый способ записи НОД:
Найти НОД 48 и 36.
НОД (48; 36) = 2 . 2 . 3 = 12
Второй способ записи НОД:
Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15.
Д (10) = {1, 2, 5, 10}
Д (15) = {1, 3, 5, 15}
Д (10, 15) = {1, 5}
Эта статья про нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух и большего количества чисел. Сначала рассмотрим алгоритм Евклида, он позволяет находить НОД двух чисел. После этого остановимся на методе, позволяющем вычислять НОД чисел как произведение их общих простых множителей. Дальше разберемся с нахождением наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел, а также приведем примеры вычисления НОД отрицательных чисел.
Навигация по странице.
Алгоритм Евклида для нахождения НОД
Заметим, что если бы мы с самого начала обратились к таблице простых чисел , то выяснили бы, что числа 661 и 113 – простые, откуда можно было бы сразу сказать, что их наибольший общий делитель равен 1 .
Ответ:
НОД(661, 113)=1 .
Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители
Рассмотрим еще один способ нахождения НОД. Наибольший общий делитель может быть найден по разложениям чисел на простые множители . Сформулируем правило: НОД двух целых положительных чисел a и b равен произведению всех общих простых множителей, находящихся в разложениях чисел a и b на простые множители .
Приведем пример для пояснения правила нахождения НОД. Пусть нам известны разложения чисел 220 и 600 на простые множители, они имеют вид 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5 . Общими простыми множителями, участвующими в разложении чисел 220 и 600 , являются 2 , 2 и 5 . Следовательно, НОД(220, 600)=2·2·5=20 .
Таким образом, если разложить числа a и b на простые множители и найти произведение всех их общих множителей, то этим будет найден наибольший общий делитель чисел a и b .
Рассмотрим пример нахождения НОД по озвученному правилу.
Пример.
Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96 .
Решение.
Разложим на простые множители числа 72
и 96
:
То есть, 72=2·2·2·3·3 и 96=2·2·2·2·2·3 . Общими простыми множителями являются 2 , 2 , 2 и 3 . Таким образом, НОД(72, 96)=2·2·2·3=24 .
Ответ:
НОД(72, 96)=24 .
В заключение этого пункта заметим, что справедливость приведенного правила нахождения НОД следует из свойства наибольшего общего делителя, которое утверждает, что НОД(m·a 1 , m·b 1)=m·НОД(a 1 , b 1) , где m – любое целое положительное число.
Нахождение НОД трех и большего количества чисел
Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a 1 , a 2 , …, a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД(a 1 , a 2)=d 2 , НОД(d 2 , a 3)=d 3 , НОД(d 3 , a 4)=d 4 , …, НОД(d k-1 , a k)=d k .
Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.
Пример.
Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .
Решение.
В этом примере a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .
Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d 2 двух первых чисел 78 и 294 . При делении получаем равенства 294=78·3+60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 и 18=6·3 . Таким образом, d 2 =НОД(78, 294)=6 .
Теперь вычислим d 3 =НОД(d 2 , a 3)=НОД(6, 570) . Опять применим алгоритм Евклида: 570=6·95 , следовательно, d 3 =НОД(6, 570)=6 .
Осталось вычислить d 4 =НОД(d 3 , a 4)=НОД(6, 36) . Так как 36 делится на 6 , то d 4 =НОД(6, 36)=6 .
Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d 4 =6 , то есть, НОД(78, 294, 570, 36)=6 .
Ответ:
НОД(78, 294, 570, 36)=6 .
Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.
Пример.
Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.
Решение.
Разложим числа 78 , 294 , 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13 , 294=2·3·7·7 , 570=2·3·5·19 , 36=2·2·3·3 . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3 . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6 .
Онлайн калькулятор позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное как для двух, так и для любого другого количества чисел.
Калькулятор для нахождения НОД и НОК
Найти НОД и НОК
Найдено НОД и НОК: 5806
Как пользоваться калькулятором
- Введите числа в поле для ввода
- В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
- нажмите кнопку "Найти НОД и НОК"
Как вводить числа
- Числа вводятся через пробел, точку или запятую
- Длина вводимых чисел не ограничена , так что найти НОД и НОК длинных чисел не составит никакого труда
Что такое НОД и НОК?
Наибольший общий делитель
нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД
.
Наименьшее общее кратное
нескольких чисел – это наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка. Наименьшее общее кратное сокращённо записывается как НОК
.
Как проверить, что число делится на другое число без остатка?
Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, можно воспользоваться некоторыми свойствами делимости чисел. Тогда, комбинируя их, можно проверять делимость на некоторые их них и их комбинации.
Некоторые признаки делимости чисел
1. Признак делимости числа на 2
Чтобы определить, делится ли число на два (является ли оно чётным), достаточно посмотреть на последнююю цифру этого числа: если она равна 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётно, а значит делится на 2.
Пример:
определить, делится ли на 2 число 34938 .
Решение:
смотрим на последнюю цифру: 8 - значит число делится на два.
2. Признак делимости числа на 3
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на три. Таким образом, чтобы определить, делится ли число на 3, нужно посчитать сумму цифр и проверить, делится ли она на 3. Даже если сумма цифр получилась очень большой, можно повторить этот же процесс вновь.
Пример:
определить, делится ли число 34938 на 3.
Решение:
считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 3, а значит и число делится на три.
3. Признак делимости числа на 5
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.
Пример:
определить, делится ли число 34938 на 5.
Решение:
смотрим на последнюю цифру: 8 - значит число НЕ делится на пять.
4. Признак делимости числа на 9
Этот признак очень похож на признак делимости на тройку: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Пример:
определить, делится ли число 34938 на 9.
Решение:
считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 9, а значит и число делится на девять.
Как найти НОД и НОК двух чисел
Как найти НОД двух чисел
Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.
Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36) :
- Раскладываем оба числа на множители: 28 = 1·2·2·7 , 36 = 1·2·2·3·3
- Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
- Вычисляем произведение этих множителей: 1·2·2 = 4 - это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.
Как найти НОК двух чисел
Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.
Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:
- Находим произведение чисел 28 и 36: 28·36 = 1008
- НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
- НОК(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
Нахождение НОД и НОК для нескольких чисел
Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Также для нахождение НОД нескольких чисел можно воспользоваться следующим соотношением: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c) .
Аналогичное соотношение действует и для наименьшего общего кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)
Пример: найти НОД и НОК для чисел 12, 32 и 36.
- Cперва разложим числа на множители: 12 = 1·2·2·3 , 32 = 1·2·2·2·2·2 , 36 = 1·2·2·3·3 .
- Найдём обшие множители: 1, 2 и 2 .
- Их произведение даст НОД: 1·2·2 = 4
- Найдём теперь НОК: для этого найдём сначала НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Чтобы найти НОК всех трёх чисел, нужно найти НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , НОД = 1·2·2·3 = 12 .
- НОК(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288 .