Walter A. Aue / flickr.com
Американские физики уточнили размерность пространства-времени, сравнив расстояние до источника, рассчитанное по затуханию гравитационных волн и по красному смещению электромагнитного излучения. Ученые выполнили такие расчеты для события GW170817 и выяснили, что размерность нашего пространства-времени примерно равна D ≈ 4,0 ± 0,1. Кроме того, они установили нижнюю границу на время жизни гравитона, которая составила около 450 миллионов лет. Препринт статьи выложен на сайте arXiv.org.
Обновлено: в июле 2018 года статья была опубликована в Journal of Cosmology and Astroparticle Physics.
Общая теория относительности и Стандартная модель построены в предположении, что мы живем в четырехмерном пространстве-времени. Точнее, в (3+1)-мерном: 3 пространственных измерения и одно временно́е. С другой стороны, ученые склонны сомневаться в самых элементарных утверждениях. Может быть, размерность нашего пространства-времени не в точности равна четырем, а просто очень близка к этому значению? В самом деле, существуют теории , в которых наше пространство-время вложено в пространства с большей размерностью. Поэтому, вообще говоря, четырехмерность нашего мира нужно доказывать, а не принимать на веру.
Группа физиков под руководством Дэвида Сперджела (David Spergel) установила точные ограничения на размерность нашего пространства-времени, анализируя - практически одновременно пришедшие на Землю гравитационные и электромагнитные волны, излученные во время слияния двух нейтронных звезд. С одной стороны, расстояние до источника волн можно определить по электромагнитной компоненты. С другой стороны, его можно рассчитать по затуханию гравитационных волн. Очевидно, оба этих расстояния должны совпасть, что накладывает ограничения на отличие скорости затухания от скорости, предсказанной ОТО. Стоит заметить, что дополнительную погрешность в расстояние, определенное по красному смещению, вносит тот факт, что значения постоянной Хаббла, измеренные по скорости разбегания галактик и по флуктуациям реликтового излучения, друг с другом. В данной статье ученые на всякий случай выполнили расчеты для обоих значений, однако погрешность экспериментальных данных все равно перевешивала эту разницу.
В Общей теории относительности напряженность гравитационных волн спадает обратно пропорционально первой степени расстояния от источника: h ~ 1/r . Однако в теориях с бо́льшим количеством измерений этот закон модифицируется , и затухание происходит быстрее: h ~ 1/r γ , где γ = (D − 2)/2, а D - количество измерений. Получается, что энергия волны как будто «утекает» в дополнительные измерения. Вычисляя «электромагнитное» и «гравитационное» расстояние до нейтронных звезд, физики определили, что степень зависимости γ ≈ 1,00 ± 0,03, то есть размерность нашего пространства D ≈ 4,0 ± 0,1.
Распределение вероятности того, что мы живем в D -мерном пространстве. Линии разных цветов отвечают разным значениям постоянной Хаббла, используемой в расчетах
С другой стороны, в еще одном типе альтернативных теорий гравитация экранируется - на маленьких расстояниях она ведет себя так же, как в четырехмерной теории, а на больших напоминает D -мерную. Учитывая ограничения события GW170817, физики определили минимальный радиус экранирования таких теорий - он составил около двадцати мегапарсек. При этом собственно источник волн находится в галактике NGC 4993 на расстоянии около сорока мегапарсек.
Наконец, дополнительное затухание гравитационных волн может возникнуть из-за того, что гравитоны являются нестабильными частицами и распадаются за время путешествия от источника до детектора. Отталкиваясь от этого предположения, физики вычислили нижнее ограничение на время жизни гравитона. Оказалось, что оно не может быть меньше 4,5×10 8 лет.
Одновременная регистрация гравитационной и электромагнитной компоненты оказала большое влияние на альтернативные теории гравитации. Например, в конце декабря прошлого года в Physical Review Letters
одновременно вышло сразу четыре статьи , посвященные событию GW170817 и ограничениям на различные квантовые теории гравитации. Кроме того, это событие очень жесткие ограничение на скорость гравитации - теперь отношение скорости гравитации к скорости света может отличаться от единицы не больше, чем на 3×10 −15 .
Дмитрий Трунин
9 сентября 2007 года пилот Логан Гомес одержал победу в гонке Chicagoland 100 чемпионата IRL Indy Pro Series. Обладателя второго места он опередил на 0,0005 секунды, установив рекорд плотности финиша в мировом автоспорте. Какое оборудование позволяет измерять время с такой точностью?
На волне маяка В современных гонках хронометраж ведется полностью автоматически. На каждый автомобиль устанавливается радиомаячок, излучающий радиоволны на уникальной частоте. Антенны, расположенные в строго определенных местах на треке, улавливают его сигнал и по частоте определяют, какой именно автомобиль проехал мимо. Антенны располагаются по две рядом: засекая время прохождения расстояния от одной антенны до другой, компьютер определяет скорость движения машины. На трассе может располагаться до 20 антенн. Особые антенны служат для контроля скорости на пит-лэйне. Информация с радиоприемников поступает в тайминг-центр, где более 20 инженеров непрерывно следят за работой компьютеров. На всякий случай система хронометража дублируется парой инфракрасных фотоэлементов, установленных на линии финиша
Тим Скоренко
Именно в серии Indyсar требования к хронометражу самые строгие. Никакой другой чемпионат не может похвастаться измерением времени с точностью до десятитысячной доли секунды. Подавляющее количество серий ограничивается 0,001 с, и этого чаще всего хватает с запасом, но бывают и казусы: например, на квалификации Гран-при Европы 1997 года в классе «Формулы-1» аж три пилота умудрились показать время, совпадающее до тысячной доли секунды, — 1.21.072. Поул-позиция в итоге досталась Жаку Вильнёву, который проехал свой быстрый круг раньше других.
В «Формуле-1» точность хронометража заметно изменялась с течением времени. В первом чемпионате 1950 года для полноценного учета финиша пилотов вполне хватало 0,1 с. Не было ни одной гонки, входящей в зачет чемпионата, где разрыв между пилотами был бы меньше секунды. Точность до 0,1 ведет свой отсчет с самого первого Гран-при в истории автогонок — Гран-при Франции 1906 года, где время победителя, Ференца Шиша на «Рено», составило 12 часов 14 минут и 7,4 секунды (не чета коротким и легким сегодняшним заездам, не так ли?). На большинстве же гонок, проведенных до Первой мировой войны, точность и вовсе не превышала 1 с.
В современных гонках хронометраж ведется полностью автоматически. На каждый автомобиль устанавливается радиомаячок, излучающий радиоволны на уникальной частоте. Антенны, расположенные в строго определенных местах на треке, улавливают его сигнал и по частоте определяют, какой именно автомобиль проехал мимо. Антенны располагаются по две рядом: засекая время прохождения расстояния от одной антенны до другой, компьютер определяет скорость движения машины. На трассе может располагаться до 20 антенн. Особые антенны служат для контроля скорости на пит-лэйне. Информация с радиоприемников поступает в тайминг-центр, где более 20 инженеров непрерывно следят за работой компьютеров. На всякий случай система хронометража дублируется парой инфракрасных фотоэлементов, установленных на линии финиша.
В Америке хронометристы были гораздо прогрессивнее. Послевоенные гонки серии AAA (в последствии — CART) требовали чаще всего точности измерения до 0,01. Это было связано в первую очередь с конфигурацией трасс и обилием овалов, где разрывы между гонщиками крайне малы. Невероятная точность хронометража современных IRL обусловлена тем же самым фактором: из семнадцати этапов чемпионата 2010 года на овалах проводится восемь.
Казусы и провалы
Хронометраж автогонок неразрывно связан с ведущими мировыми производителями часов и электроники: TAG Heuer, Tissot, Omega, Longines… Почти все они так или иначе представлены в различных видах спорта как официальные хронометристы. Ошибки и неточности в измерении времени сегодня практически исключены. С 1992 года и по сей день вышеупомянутое Гран-при Европы"97 стало единственным хронометрическим курьезом «Формулы-1», а в IRL даже такие казусы совершенно невозможны.
Сегодня системы тайминга Indycar и NASCAR считаются одними из лучших в мире. Каждая трасса оборудована так, что европейские организаторы могут только позавидовать. Счет идет на 0,0001 секунды (для Indycar), а зрители в прямом эфире в любой момент могут получить информацию о скорости каждой машины на треке, ее времени на круге и любом из секторов круга, разрывы в пелатоне с точностью до сектора и т. д. — в общем, максимальную информацию. В гонках, где половина этапов сезона проходит на овалах, точность тайминга играет огромную роль. Победитель частенько определяется посредством фотофиниша.
Как ни странно, понятие «официальный хронометрист» появилось совсем недавно. Это сегодня компания Tissot «ведет» чемпионат мира по мотогонкам, и никакая другая компания не имеет права вмешиваться. Еще 30 лет назад на каждой отдельной гонке были свои хронометристы, «вооруженные» тем оборудованием, которое могли закупить организаторы.
До Второй мировой практически во всех гоночных сериях и классах хронометраж проводился вручную: у трассы стояли специально обученные люди с секундомерами. Они фиксировали время прохождения круга очередной машиной и записывали данные. Впрочем, были и «прорывы». В 1911-м на первой гонке Indianapolis 500 инженер Чарли Уорнер сконструировал и добился применения первой в истории полуавтоматической системы хронометража. По линии старта-финиша была слабо натянута и чуть приподнята над кирпичным покрытием тонкая проволока. Каждая машина прижимала проволоку к земле, усиливая ее натяжение. К проволоке крепился молоточек-печать, который при натяжении ставил чернильную отметку на медленно ползущей ленте с делениями. Точность измерения достигала 0,01 с! Номера машин напротив каждой точки хронометрист ставил вручную. Система не прижилась по смешной причине: в середине гонки автомобиль гонщика Херба Литтла порвал проволоку. Пока натянули новую (бегая перед несущимися машинами), прошло не менее 20 кругов, в течение которых хронометраж велся приблизительно. Победа в гонке была присуждена Рэю Хэрроуну на Marmon, но другой известный гонщик, Ральф Малфорд, до самой смерти был уверен, что именно он выиграл первую в истории Indy 500.
Расцвет успешного применения полуавтоматических систем приходится на 1930-е. В Indy 500 тогда использовали хронографы Stewart-Warner или огромные Loughborough-Hayes.
В первые годы существования серии NASCAR хронометраж велся просто ужасно. В некоторых гонках на финише сидел человек с бумагой и карандашом и фиксировал: такой-то идет первым, такой-то — вторым. Правда, это касалось только гравийных и грязевых трасс. На автодромах дело обстояло получше. В частности, именно на гонке в Элхарт-Лейк"1951 применили хронограф Streeter-Amet. Прибор последовательно печатал (в десятых долях секунды) на бумажной ленте время каждого проносящегося мимо автомобиля, работа человека состояла в написании номеров машин напротив каждого числа.
Полностью автоматическая система тайминга была впервые использована в гонке чемпионата USAC на трассе Онтарио в 1970 году. Каждый автомобиль был оборудован передатчиком, излучающим волны на своей собственной, уникальной частоте. На линии старта-финиша была установлена антенна, улавливающая частоту колебаний каждого трансмиттера, — остальную работу выполнял компьютер.
Профессиональный хронометрист Дэвид Маккинни, работавший в 1960-х годах на различных гонках в Австралии и Новой Зеландии, дал нам интересную информацию: «Если самый квалифицированный хронометрист с самым лучшим хронометром сумеет точно ‘поймать" десятую долю секунды, то ему просто повезло». Поэтому все ручные измерения, которые когда-либо производились в гонках, можно смело считать приблизительными.
«Формула-1»
В Европе автоматические системы появились намного позже, чем в Америке. В международных сериях вроде «Формулы-1» царили разброд и шатание. Вплоть до конца 1970-х на разных Гран-при хронометражем занимались совершенно разные люди, использовавшие различное оборудование и методы. На свободных заездах роль хронометристов чаще всего выполняли жены гонщиков. Например, Норма Хилл, жена двукратного чемпиона мира Грэма Хилла, ездила с мужем на каждый Гран-при и лично засекала его время на круге, перепроверяя работу маршалов.
В середине 1970-х, устав от постоянной путаницы и ошибок, команда Ferrari начала возить на Гран-при собственное высокоточное оборудование, закупленное в Америке. Один из механиков извечного соперника Ferrari команды Lotus спросил у своего руководителя Колина Чепмена: «Почему мы не поступим так же?» «Вы на самом деле думаете, что от этого наши машины поедут быстрее?» — отвечал Чепмен. Этот ответ очень точно характеризует европейское отношение к точности хронометража в те годы. Впрочем, к концу 1970-х почти все крупные команды заключили договоры с производителями часов и возили с собой собственные тайминговые системы. После одного из заездов журнал Autosport писал: «Команды публикуют в официальных отчетах тайминг такой точности, что официальные цифры организаторов Гран-при выглядят как сделанные с помощью часов Микки-Мауса!»
В связи с ошибками тайминга регулярно возникали замечательные инциденты. Например, во время дождевого Гран-при Канады 1973 года на трассу впервые был выведен сэйфти-кар. Хронометристы были сбиты столку, напутали с круговыми и неправильно сложили время до и после пейс-кара. В итоге победу последовательно праздновали Эмерсон Фиттипальди из Lotus, Джеки Оливер из Shadow и Петер Ревсон из МcLaren. Победа досталась последнему — после нескольких часов препирательств.
Не менее занимательная история случилась на Гран-при Швеции 1975 года. Гонщик March Витторио Брамбилла был далеко не самым быстрым в пелатоне, но именно он завоевал в той гонке поул-позицию. Это произошло оттого, что конструктор March Робин Херд незаметно прошел прямо перед фотоэлементом регистрирующего прибора за полсекунды до того, как Брамбилла пересек финишную черту. Каким-то чудом никто этого не увидел, а прибор зафиксировал время пешего Херда, а вовсе не гонщика.
Торжество технологий
Сегодняшние гонки суть торжество высоких технологий. К примеру, серия NASCAR чуть ли не последней переходила на современные методы хронометража, максимально придерживаясь традиций. Но сегодня системы тайминга NASCAR считаются одними из лучших в мире. Компания Tissot, официальный хронометрист заокеанской серии в течение последних четырех лет, оборудовала каждую трассу так, что европейские организаторы могут только позавидовать. В гонках, где из 36 этапов сезона 34 проходят на овалах, точность тайминга играет огромную роль.
Не менее серьезные системы используются и в чемпионате мира по мотогонкам (его хронометристом также является компания Tissot). В отличие от NASCAR, тут не требуется сложных систем наблюдения, чтобы определить, кто же впереди: мотоциклисты идут не таким плотным пелатоном. Но поскольку трассы MotoGP традиционной европейской конфигурации, а не овалы, сложностей тоже хватает. Установка отсечек времени на определенных местах трассы требует тщательного продумывания (овалы попросту геометрически делятся на 4−8 частей).
Сегодняшние компьютерные технологии практически исключают возможность ошибки хронометража в авто- или мотогонках. Организаторы Гран-при давно нашли себе на голову совершенно другие проблемы — безопасности, экологии и т. д. А фиксаторы времени работают себе и работают. Можно сказать, как часы.
И в 7-м и в 8-м классе мы часто решали уравнения графически. Заметили ли вы, что практически во всех таких примерах уравнения имели «хорошие» корни? Это были целые числа, которые без труда отыскивались с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но так бывает далеко не всегда, просто мы до сих пор подбирали «хорошие» примеры.
Рассмотрим два уравнения: = 2 - х и = 4 - х. Первое уравнение имеет единственный корень х = 1, поскольку графики функций у = и у = 2 - х пересекаются в одной точке А (1; 1) (рис. 112). Во втором случае графики функций — фс и у = 4 - х также пересекаются в одной точке В (рис. 113), но с «плохими» координатами. Пользуясь чертежом, можно сделать вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В подобных случаях говорят не о точном, а о приближенном решении уравнения и пишут так:
Это одна из причин, по которым математики решили ввести понятие приближенного значения действительного числа. Есть и вторая причина, причем, может быть, даже более важная.Что такое действительное число? Это бесконечная десятичная дробь. Но производить вычисления с бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике пользуются приближенными значениями действительных чисел. Например, для числа пользуются приближенным равенством 3,141 или 3,142. Первое называют приближенным значением (или приближением) числа п по недостатку с точностью до 0,001; второе называют приближенным значением (приближением) числа к по избытку с точностью до 0,001. Можно взять более точные приближения: например,
3,1415 — приближение по недостатку с точностью до 0,0001; 3,1416 — приближение по избытку с точностью до 0,0001. Можно взять менее точные приближения, скажем, с точностью до 0,01: по недостатку 3,14, по избытку 3,15.
Знак приближенного равенства » вы использовали и в курсе математики 5—6-го классов и, вероятно, в курсе физики, да и мы пользовались им раньше, например в § 27.
Пример 1.
Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел:
Решение,
а) Мы знаем, что = 2,236... (см. § 27), следовательно, 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01.
б) 2 + = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01.
в) Имеем 0,31818... (см. § 26). Таким образом, 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01.
Приближение по недостатку и приближение по избытку называют иногда округлением числа.
Определение.
Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величины х и ее приближенным значением а: погрешность приближения — это | х - а |.
Например, погрешность приближенного равенства выражается как или соответственно как ,
Возникает чисто практический вопрос: какое приближение лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного числа, для которого составляются приближения. Обычно при округлении положительных чисел пользуются следующим пра-
вилом:
Применим это правило ко всем рассмотренным в этом параграфе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближения, для которых погрешность окажется наименьшей.
1) = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем 3,142; здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте после запятой), поэтому взяли приближение по избытку.
С точностью до 0,0001 имеем 3,1416 — и здесь взяли приближение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте после запятой) равна 9. А вот с точностью до 0,01 надо взять приближение по недостатку: 3,14.
2) = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем 2,24
(приближение по избытку). ¦
3) 2 + = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + 4,24 (приближение по избытку).
4) = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем 0,318 (приближение по недостатку).
Рассмотрим последний пример подробнее. Возьмем укрупненный фрагмент координатной прямой (рис. 114).
Точка принадлежит отрезку , значит, ее расстояния от концов отрезка не превосходят длины отрезка. Расстояния точки от концов
отрезка равны соответственно 
отрезка равна 0,001. Значит, 
и 
Итак, в обоих случаях (и для приближения числа по недостатку, и для приближения его по избытку) погрешность не превосходит 0,001.
До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использовании терминологии.
Если а — приближенное значение числа х и , mo говорят, что погрешность приближения не превосходит h или что число х равно числу а с
точностью до h.
Почему же важно уметь находить приближенные значения чисел? Дело в том, что практически невозможно оперировать с бесконечными десятичными дробями и использовать их для измерения величин. На практике во многих случаях вместо точных значений берут приближения с заранее заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа (за редким исключением, когда выводимое число представляет собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране).
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Приближенное вычисление значений функций
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:
Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х , принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:
Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x ). Для этого применяют следующие приемы:
- если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена .
Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
В общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: 
(или x
Пример 1 . Пользуясь разложением в ряд sinx , вычислить sin20 o с точностью до 0,0001.
Решение
. Чтобы можно было пользоваться формулой (2), необходимо выразить значение аргумента в радианной мере. Получаем 
. Подставляя это значение в формулу, получаем
Полученный ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям Лейбница. Так как 
, то этот и все последующие члены ряда можно отбросить, ограничиваясь первыми двумя членами. Таким образом,
Пример 2 . Вычислить с точностью до 0,01.
Решение . Воспользуемся разложением , где (см. пример 5 в предыдущей теме):
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
.
Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем
.
Пример 3 . Вычислить с точностью до 0,0001.
Решение . Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.
так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Приближенное вычисление определенных интегралов
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подинтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.
Пример 4 : Вычислить интеграл с точностью до 0,00001.
Решение . Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:
Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:
Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.
Пример 5 . Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
Следовательно, 
.
Приближенное решение задачи Коши для обыкновенного
Дифференциального уравнения
В частых случаях, когда ОДУ не решается в общем виде, решить задачу Коши для него можно приближенно, в виде первых нескольких членов разложения решения в ряд Тейлора (в окрестности данной точки)
Пример Найти первые 3 члена разложения в ряд решения задачи Коши
Решение : Будем искать решение задачи в виде
Коэффициент у (1)=2 – это начальное условие задачи Коши.
Коэффициент найдем из уравнения, подставив в него начальные условия:
Продифференцируем обе части данного уравнения, чтобы найти :
Таким образом,
Решить : Вычислить приближенно с указанной точностью:
A 1) до 0,0001 2) до 0,0001 3) до 0,01 4) ln6 до 0,01
5) до 0,001 6) до 0,001 7) до 0,01
8) до 0,001 9) 
до 0,001 10) 
до 0,001
11) до 0,001 12) до 0,01 13) до 0,001
14) 
до 0,001 15) 
до 0,001 16) 
до 0,001
B Найти первые несколько членов разложения в ряд решения задачи Коши:
17) y¢-4y+xy 2 -e 2 x =0; y(0)=2 (4 члена) 18) y¢+ycosx-y 2 sinx=0; y(p)=1 (4 члена)
19) y¢¢=e y cosy¢; y(1)=1; y¢(1)=p/6 (5 членов)
20) y¢¢=xy 2 -1/y¢; y(0)=0, y¢(0)=1 (5 членов)
Ряд Фурье
Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (-p;p)
, где
Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (-l ;l ) называется тригонометрический ряд вида:
, где
Ряд Фурье кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной на интервале (-l ;l ) функции сходится на всей числовой оси.
Сумма ряда Фурье S (x ):
Является периодической функцией с периодом 2l
На интервале (-l ;l ) совпадает с функцией f (x ), за исключением точек разрыва
В точках разрыва (первого рода, т.к. функция ограничена) функции f (x ) и на концах интервала принимает средние значения:
Говорят, что функция раскладывается в ряд Фурье на интервале(-l
;l
): 
.
Если f (x ) – четная функция, то в ее разложении участвуют только четные функции, то есть b n =0.
Если f (x ) – нечетная функция, то в ее разложении участвуют только нечетные функции, то есть а n =0
Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по косинусам кратных дуг называется ряд:
, где 
.
Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по синусам кратных дуг называется ряд:
, где 
.
Сумма ряда Фурье по косинусам кратных дуг является четной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Сумма ряда Фурье по синусам кратных дуг является нечетной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Ряд Фурье для данной функции на данном интервале обладает свойством единственности, то есть если разложение получено каким-либо иным способом, чем использование формул, например, при помощи подбора коэффициентов, то эти коэффициенты совпадают с вычисленными по формулам.
Примеры .
1. Разложить функцию f (x )=1:
а) в полный ряд Фурье на интервале (-p;p);
б) в ряд по синусам кратных дуг на интервале (0;p); построить график полученного ряда Фурье
Решение :
а) Разложение в ряд Фурье на интервале(-p;p) имеет вид:
,
причем все коэффициенты b n =0, т.к. данная функция – четная; таким образом,
Очевидно, равенство будет выполнено, если принять
а 0 =2, а 1 =а 2 =а 3 =…=0
В силу свойства единственности это и есть искомые коэффициенты. Таким образом, искомое разложение: 
или просто 1=1.
В таком случае, когда ряд тождественно совпадает со своей функцией, график ряда Фурье совпадает с графиком функции на всей числовой прямой.
б) Разложение на интервале (0;p) по синусам кратных дуг имеет вид:
Подобрать коэффициенты так, чтобы равенство тождественно выполнялось, очевидно, невозможно. Воспользуемся формулой для вычисления коэффициентов:
Таким образом, для четных n
(n
=2k
) имеем b n
=0, для нечетных (n
=2k
-1) - 
Окончательно, 
.
Построим график полученного ряда Фурье, воспользовавшись его свойствами (см. выше).
Прежде всего, строим график данной функции на заданном интервале. Далее, воспользовавшись нечетностью суммы ряда, продолжаем график симметрично началу координат:
Пусть требуется вычислить определенный интеграл $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ с некоторой наперёд заданной точностью $\varepsilon$. Если непосредственное нахождение первообразной подынтегральной функции $f(x)$ чересчур громоздко, или же интеграл $\int f(x)dx$ вообще не берётся, то в этих случаях можно использовать функциональные ряды. В частности, применяются ряды Маклорена, с помощью которых получают разложение в степенной ряд подынтегральной функции $f(x)$. Именно поэтому в работе нам будет нужен документ с рядами Маклорена .
Степенные ряды, которые мы и станем использовать, сходятся равномерно, поэтому их можно почленно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри интервала сходимости. Схема решения подобных задач на вычисление интегралов с помощью рядов проста:
- Разложить подынтегральную функцию в функциональный ряд (обычно в ряд Маклорена).
- Произвести почленное интегрирование членов записанного в первом пункте функционального ряда.
- Вычислить сумму полученного во втором пункте числового ряда с заданной точностью $\varepsilon$.
Задачи на вычисление интегралов с помощью рядов популярны у составителей типовых расчётов по высшей математике. Поэтому в данной теме мы разберём пять примеров, в каждом из которых требуется вычислить определенный интеграл с точностью $\varepsilon$.
Пример №1
Вычислить $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx$ с точностью до $\varepsilon=10^{-3}$.
Сразу отметим, что интеграл $\int e^{-x^2}dx$ не берётся, т.е. первообразная подынтегральной функции не выражается через конечную комбинацию элементарных функций. Иными словами, стандартными способами (подстановка, интегрирование по частям и т.д.) первообразную функции $e^{-x^2}$ найти не удастся.
Для таких задач есть два варианта оформления, поэтому рассмотрим их отдельно. Условно их можно назвать "развёрнутый" и "сокращённый" варианты.
Развёрнутый вариант оформления
ряд Маклорена :
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\ldots$$
$$e^{-x^2}=1-x^2+\frac{\left(-x^2\right)^2}{2}+\frac{\left(-x^2\right)^3}{6}+\ldots=1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\ldots$$
Интегрируем полученное разложение на отрезке $\left$:
$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\left(1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\ldots\right)dx=\\ =\left.\left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\ldots\right)\right|_{0}^{1/2}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}-\frac{1}{42\cdot{2^7}}+\ldots$$
Получили сходящийся знакочередующийся ряд. Это значит, что если для вычисления приближенного значения заданного интеграла взять $k$ членов полученного ряда, то погрешность не превысит модуля $(k+1)$-го члена ряда.
Согласно условию, точность $\varepsilon=10^{-3}$. Так как $\frac{1}{42\cdot{2^7}}=\frac{1}{5376}<10^{-3}$, то для достижения требуемой точности достаточно ограничиться первыми тремя членами знакочередующегося ряда:
$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}=\frac{443}{960}.$$
Погрешность полученного равенства не превышает $\frac{1}{5376}$.
Однако суммировать обычные дроби - дело утомительное, поэтому чаще всего расчёты ведут в десятичных дробях:
$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}\approx{0{,}5}-0{,}0417+0{,}0031\approx{0{,}461}.$$
Разумеется, в этом случае нужно учитывать погрешность округления. Первое слагаемое (т.е. $0{,}5$) было рассчитано точно, поэтому никакой погрешности округления там нет. Второе и третье слагаемые брались с округлением до четвёртого знака после запятой, посему погрешность округления для каждого из них не превысит $0,0001$. Итоговая погрешность округления не превысит $0+0{,}0001+0{,}0001=0{,}0002$.
Следовательно, суммарная погрешность равенства $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx{0{,}461}$ не превысит $0{,}0002+\frac{1}{5376}<10^{-3}$, т.е. значение интеграла вычислено с требуемой точностью.
Сокращённый вариант оформления
Запишем разложение функции $e^x$ в ряд Маклорена :
$$e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$
Данное разложение верно при всех $x\in{R}$. Подставим $-x^2$ вместо $x$:
$$e^{-x^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{n!}$$
Интегрируем полученный ряд на отрезке $\left$:
$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{n!}dx= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}x^{2n}dx=\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left.\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right|_{0}^{1/2}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}}{n!\cdot(2n+1)}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\cdot(2n+1)\cdot{2^{2n+1}}}$$
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\cdot(2n+1)\cdot{2^{2n+1}}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{24}+\frac{1}{320}-\frac{1}{5376}+\ldots$$
Все рассуждения, что были сделаны относительно погрешностей в развёрнутом варианте оформления остаются в силе, т.е. $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}\approx{0{,}461}$.
Чем сокращённый вариант записи лучше развёрнутого?
Во-первых, нам не нужно угадывать, сколько членов ряда взять в изначальном разложении, чтобы вычислить определенный интеграл с заданной точностью. Например, мы записали в самом начале решения:
$$e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\ldots$$
Однако почему мы решили, что нужно взять именно четыре члена ряда? А вдруг нужно взять два члена ряда или пять, или сто? Если бы только шестой член ряда оказался меньше чем $\varepsilon$, - что тогда? А тогда пришлось бы возвращаться в самое начало решения, добавлять ещё пару членов ряда и интегрировать их. А если и этого не хватит, то проделать эту процедуру ещё раз.
Сокращённый вид записи таким недостатком не страдает. Мы получаем числовой ряд, записанный в общем виде, поэтому можем брать столько его членов, сколько потребуется.
Исходя из вышеперечисленных причин, я предпочитаю именно сокращённый способ записи. В дальнейнем все решения в этой теме будут оформлены в сокращённой форме.
Ответ : $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx{0{,}461}$.
Пример №2
Вычислить определённый интеграл $\int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx$ с точностью до $\varepsilon=10^{-3}$, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена и проинтегрировав почленно.
Начнём с разложения подынтегральной функции $\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}$ в ряд Маклорена. Запишем разложение функции $\cos{x}$ в ряд Маклорена :
$$\cos{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{(2n)!}$$
Данное разложение верно при всех $x\in{R}$. Подставим вместо $x$ дробь $\frac{5x}{3}$:
$$\cos{\frac{5x}{3}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{\left(\frac{5x}{3}\right)}^{2n}}{(2n)!}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}.$$
Теперь разложим $1-\cos\frac{5x}{3}$:
$$ 1-\cos\frac{5x}{3}=1-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}} $$
Забирая из суммы $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}$ первый член, получим: $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}$. Следовательно:
$$ 1-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=1-\left(1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\right)=\\ =-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}. $$
Последнее, что остаётся - это разделить на $x$:
$$ \frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}=\frac{1}{x}\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n-1}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}. $$
Интегрируем данное разложение на отрезке $\left$:
$$ \int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{5}}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n-1}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}dx= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\int\limits_{0}^{\frac{1}{5}}{x}^{2n-1}dx=\\ =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\cdot\left.\frac{x^{2n}}{2n}\right|_{0}^{1/5}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{{2n}\cdot 3^{2n}\cdot{(2n)!}} $$
Получили знакочередующийся ряд. Запишем несколько первых членов этого ряда (до тех пор, пока записанный член не станет меньше $\varepsilon$):
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{{2n}\cdot 3^{2n}\cdot{(2n)!}}=\frac{1}{36}-\frac{1}{7776}+\ldots$$
Так как $\frac{1}{7776}<\varepsilon$, то для вычисления интеграла с точностью $\varepsilon$ достаточно первого члена полученного числового ряда:
$$\int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx\approx\frac{1}{36}\approx{0{,}028}.$$
Ответ : $\int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx\approx{0{,}028}$.
Продолжение темы вычисления интегралов с помощью рядов Маклорена продолжим во