Решение сложных тригонометрических уравнений. Основные методы решения тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений

Введение 2

Методы решения тригонометрических уравнений 5

Алгебраический 5

Решение уравнений с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций 7

Разложение на множители 8

Приведение к однородному уравнению 10

Введение вспомогательного угла 11

Преобразование произведения в сумму 14

Универсальная подстановка 14

Заключение 17

Введение

До десятого класса порядок действий многих упражнений, ведущий к цели, как правило, однозначно определен. Например, линейные и квадратные уравнения и неравенства, дробные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, и т.п. Не разбирая подробно принцип решения каждого из упомянутых примеров, отметим то общее, что необходимо для их успешного решения.

В большинстве случаев надо установить, к какому типу относится задача, вспомнить последовательность действий, ведущих к цели, и выполнить эти действия. Очевидно, что успех или неуспех ученика в овладении приемами решения уравнений зависит главным образом от того, насколько он сумеет правильно определить тип уравнения и вспомнить последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом предполагается, что ученик владеет навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.

Совершенно иная ситуация получается, когда школьник встречается с тригонометрическими уравнениями. При этом установить факт, что уравнение является тригонометрическим, нетрудно. Сложности возникают при нахождении порядка действий, которые бы привели к положительному результату. И здесь перед учеником встают две проблемы. По внешнему виду уравнения трудно определить тип. А не зная типа, почти невозможно выбрать нужную формулу из нескольких десятков, имеющихся в распоряжении.

Чтобы помочь ученикам найти верную дорогу в сложном лабиринте тригонометрических уравнений, их сначала знакомят с уравнениями, которые после введения новой переменной приводятся к квадратным. Затем решают однородные уравнения и приводимые к ним. Все заканчивается, как правило, уравнениями, для решения которых надо разложить на множители левую часть, приравняв затем каждый из множителей к нулю.

Понимая, что разобранных на уроках полутора десятков уравнений явно недостаточно, чтобы пустить ученика в самостоятельное плавание по тригонометрическому "морю", учитель добавляет от себя еще несколько рекомендаций.

Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:

Привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»;

Привести уравнение к "одинаковым функциям";

Разложить левую часть уравнения на множители и т.п.

Но, несмотря на знание основных типов тригонометрических уравнений и нескольких принципов поиска их решения, многие ученики по-прежнему оказываются в тупике перед каждым уравнением, незначительно отличающимся от тех, что решались раньше. Остается неясным, к чему следует стремиться, имея то или иное уравнение, почему в одном случае надо применять формулы двойного угла, в другом - половинного, а в третьем - формулы сложения и т.д.

Определение 1. Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком тригонометрических функций.

Определение 2. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые углы, если все тригонометрические функции, входящие в него, имеют равные аргументы. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые функции, если оно содержит только одну из тригонометрических функций.

Определение 3. Степенью одночлена, содержащего тригонометрические функции, называется сумма показателей степеней тригонометрических функций, входящих в него.

Определение 4. Уравнение называется однородным, если все одночлены, входящие в него, имеют одну и ту же степень. Эта степень называется порядком уравнения.

Определение 5. Тригонометрическое уравнение, содержащее только функции sin и cos , называется однородным, если все одночлены относительно тригонометрических функций имеют одинаковую степень, а сами тригонометрические функции имеют равные углы и число одночленов на 1 больше порядка уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

I . Алгебраический метод. Этот метод хорошо известен из алгебры. (Метод замены переменный и подстановки).

Решить уравнения.

1)

Введём обозначение x =2 sin 3 t , получим

Решая это уравнение, получаем:
или

т.е. можно записать

При записи полученного решения из-за наличия знаков степень
записывать не имеет смысла.

Ответ:

Обозначим

Получаем квадратное уравнение
. Его корнями являются числа
и
. Поэтому данное уравнение сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям
и
. Решая их, находим, что
или
.

Ответ:
;
.

Обозначим

не удовлетворяет условию

Значит

Ответ:

Преобразуем левую часть уравнения:

Таким образом, данное исходное уравнение можно записать в виде:

, т.е.

Обозначив
, получим
Решив данное квадратное уравнение имеем:

не удовлетворяет условию

Записываем решение исходного уравнения:

Ответ:

Подстановка
сводит данное уравнение к квадратному уравнению
. Его корнями являются числа
и
. Так как
, то заданное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

II . Решение уравнений с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций.

а)
, если

б)
, если

в)
, если

Используя данные условия, рассмотрим решение следующих уравнений:

6)

Пользуясь сказанным в п. а) получаем, что уравнение имеет решение в том и только в том случае, когда
.

Решая это уравнение, находим
.

Имеем две группы решений:

.

7) Решить уравнение:
.

Пользуясь условием п. б) выводим, что
.

Решая эти квадратные уравнения, получаем:

.

8) Решить уравнение
.

Из данного уравнения выводим, что . Решая это квадратное уравнение, находим, что

.

III . Разложение на множители.

Этот метод рассматриваем на примерах.

9) Решить уравнение
.

Решение. Перенесём все члены уравнения влево: .

Преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
.

.

.

1)
2)

Т.к.
и
не принимают значение нуль

одновременно, то разделим обе части

уравнения на
,

Ответ:

10) Решить уравнение:

Решение.

или


Ответ:

11) Решить уравнение

Решение:

1)
2)
3)

,


Ответ:

IV . Приведение к однородному уравнению.

Чтобы решить однородное уравнение надо:

Перенести все его члены в левую часть;

Вынести все общие множители за скобки;

Приравнять все множители и скобки к нулю;

Скобки, приравненные к нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
(или
) в старшей степени;

Решить полученное алгебраическое уравнение относительно
.

Рассмотрим примеры:

12) Решить уравнение:

Решение.

Разделим обе части уравнения на
,

Вводя обозначения
, именем

корни этого уравнения:

отсюда 1)
2)

Ответ:

13) Решить уравнение:

Решение. Используя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество, приводим данное уравнение к половинному аргументу:

После приведения подобных слагаемых имеем:

Разделив однородное последнее уравнение на
, получим

Обозначу
, получим квадратное уравнение
, корнями которого являются числа

Таким образом

Выражение
обращается в нуль при
, т.е. при
,
.

Полученное нами решение уравнения не включает в себя данные числа.

Ответ:
, .

V . Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида

Где a, b, c - коэффициенты, x - неизвестное.

Разделим обе части этого уравнения на

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль каждого из них не превосходит единицы, а сумма их квадратов равна 1.

Тогда можно обозначить их соответственно
(здесь - вспомогательный угол) и наше уравнение принимает вид: .

Тогда

И его решение

Заметим, что введенные обозначения взаимно заменяемы.

14) Решить уравнение:

Решение. Здесь
, поэтому делим обе части уравнения на

Ответ:

15) Решить уравнение

Решение. Так как
, то данное уравнение равносильно уравнению


Так как
, то существует такой угол , что
,
(т.е.
).

Имеем

Так как
, то окончательно получаем:


.

Заметим, что уравнение вида имеют решение тогда и только тогда, когда

16) Решить уравнение:

Для решения данного уравнения сгруппируем тригонометрические функции с одинаковыми аргументами

Разделим обе части уравнения на два

Преобразуем сумму тригонометрических функций в произведение:

Ответ:

VI . Преобразование произведения в сумму.

Здесь используются соответствующие формулы.

17) Решить уравнение:

Решение. Преобразуем левую часть в сумму:

VII. Универсальная подстановка.

,

эти формулы верны для всех

Подстановка
называется универсальной.

18) Решить уравнение:

Решение: Заменим и
на их выражение через
и обозначим
.

Получаем рациональное уравнение
, которое преобразуется в квадратное
.

Корнями этого уравнения являются числа
.

Поэтому задача свелась к решению двух уравнений
.

Находим, что
.

Значение вида
исходному уравнению не удовлетворяет, что проверяется проверкой - подстановкой данного значения t в исходное уравнение.

Ответ:
.

Замечание. Уравнение 18 можно было решить иным способом.

Разделим обе части этого уравнения на 5 (т.е. на
):
.

Так как
, то существует такое число
, что
и
. Поэтому уравнение принимает вид:
или
. Отсюда находим, что
где
.

19) Решить уравнение
.

Решение. Так как функции
и
имеют наибольшее значение, равное 1, то их сумма равна 2, если
и
, одновременно, то есть
.

Ответ:
.

При решении этого уравнения применялась ограниченность функций и .

Заключение.

Работая над темой « Решения тригонометрических уравнений » каждому учителю полезно выполнять следующие рекомендации:

    Систематизировать методы решения тригонометрических уравнений.

    Выбрать для себя шаги по выполнению анализа уравнения и признаки целесообразности использования того или иного метод решения.

    Продумать способы самоконтроля своей деятельности по реализации метода.

    Научиться составлять « свои » уравнения на каждый из изучаемых методов.

Приложение №1

Решите однородные или приводящиеся к однородным уравнения.

1.

Отв.

Отв.

Отв.

5.

Отв.

Отв.

7.

Отв.

Отв.

Концепция решения тригонометрических уравнений.

  • Для решения тригонометрического уравнения преобразуйте его в одно или несколько основных тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.

  • Решение основных тригонометрических уравнений.

    • Существуют 4 вида основных тригонометрических уравнений:
    • sin x = a; cos x = a
    • tg x = a; ctg x = a
    • Решение основных тригонометрических уравнений подразумевает рассмотрение различных положений «х» на единичной окружности, а также использование таблицы преобразования (или калькулятора).
    • Пример 1. sin x = 0,866. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: 2π/3. Запомните: все тригонометрические функции являются периодическими, то есть их значения повторяются. Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Поэтому ответ записывается следующим образом:
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • Пример 2. соs х = -1/2. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = 2π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
    • Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
    • Ответ: х = π/4 + πn.
    • Пример 4. ctg 2x = 1,732.
    • Ответ: х = π/12 + πn.

  • Преобразования, используемые при решении тригонометрических уравнений.

    • Для преобразования тригонометрических уравнений используются алгебраические преобразования (разложение на множители, приведение однородных членов и т.д.) и тригонометрические тождества.
    • Пример 5. Используя тригонометрические тождества, уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0 преобразуется в уравнение 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким образом, нужно решить следующие основные тригонометрические уравнения: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos (x/2) = 0.

    • Нахождение углов по известным значениям функций.

      • Перед изучением методов решения тригонометрических уравнений вам необходимо научиться находить углы по известным значениям функций. Это можно сделать при помощи таблицы преобразования или калькулятора.
      • Пример: соs х = 0,732. Калькулятор даст ответ х = 42,95 градусов. Единичная окружность даст дополнительные углы, косинус которых также равен 0,732.

    • Отложите решение на единичной окружности.

      • Вы можете отложить решения тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
      • Пример: Решения x = π/3 + πn/2 на единичной окружности представляют собой вершины квадрата.
      • Пример: Решения x = π/4 + πn/3 на единичной окружности представляют собой вершины правильного шестиугольника.

    • Методы решения тригонометрических уравнений.

      • Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрические функции, то существуют 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
        • Метод 1.
      • Преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, где f(x), g(x), h(x) - основные тригонометрические уравнения.
      • Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2π)
      • Решение. Используя формулу двойного угла sin 2x = 2*sin х*соs х, замените sin 2x.
      • 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: соs х = 0 и (sin х + 1) = 0.
      • Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2π)
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
      • Пример 8. sin x - sin 3x = cos 2x . (0 < x < 2π)
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
        • Метод 2.
      • Преобразуйте данное тригонометрическое уравнение в уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию. Затем замените эту тригонометрическую функцию на некоторую неизвестную, например, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t и т.д.).
      • Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2π).
      • Решение. В данном уравнении замените (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (согласно тождеству). Преобразованное уравнение имеет вид:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замените sin х на t. Теперь уравнение имеет вид: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Это квадратное уравнение, имеющее два корня: t1 = -1 и t2 = 9/5. Второй корень t2 не удовлетворяет области значений функции (-1 < sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Решение. Замените tg x на t. Перепишите исходное уравнение в следующем виде: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите х для t = tg х.

    • Решение простейших тригонометрических уравнений.

    Решение тригонометрических уравнений любого уровня сложности в конечном итоге сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. И в этом наилучшим помощником снова оказывается тригонометрический круг.

    Вспомним определения косинуса и синуса.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

    Положительным направлением движения по тригонометрическому кругу считается движение против часовой стрелки. Повороту на 0 градусов (или 0 радиан) соответствует точка с координатами (1;0)

    Используем эти определения для решения простейших тригонометрических уравнений.

    1. Решим уравнение

    Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота , которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна .

    Отметим на оси ординат точку с ординатой :


    Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие ординату . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан:


    Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на радиан и имеющую ту же ординату. То есть этот угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно "холостых" оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению. Число "холостых" оборотов обозначим буквой (или ). Так как мы можем совершать эти обороты как в положительном, так и в отрицательном направлении, (или ) могут принимать любые целые значения.

    То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид:

    , , - множество целых чисел (1)

    Аналогично, вторая серия решений имеет вид:

    , где , . (2)

    Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на .

    Эти две серии решений можно объединить в одну запись:

    Если мы в этой записи возьмем (то есть четное ), то мы получим первую серию решений.

    Если мы в этой записи возьмем (то есть нечетное ), то мы получим вторую серию решений.

    2. Теперь давайте решим уравнение

    Так как - это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на угол , отметим на оси точку с абсциссой :


    Проведем вертикальную линию параллельно оси до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие абсциссу . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан. Вспомним, что при движении по часовой стрелки мы получаем отрицательный угол поворота:


    Запишем две серии решений:

    ,

    ,

    (Мы попадаем в нужную точку, пройдя из основной полный круг, то есть .

    Объедим эти две серии в одну запись:

    3. Решим уравнение

    Линия тангенсов проходит через точку с координатами (1,0) единичной окружности параллельно оси OY

    Отметим на ней точку, с ординатой равной 1 (мы ищем, тангенс каких углов равен 1):


    Соединим эту точку с началом координат прямой линией и отметим точки пересечения прямой с единичной окружностью. Точки пересечения прямой и окружности соответствуют углам поворота на и :


    Так как точки, соответствующие углам поворота, которые удовлетворяют нашему уравнению, лежат на расстоянии радиан друг от друга, то мы можем записать решение таким образом:

    4. Решим уравнение

    Линия котангенсов проходит через точку с координатами единичной окружности параллельно оси .

    Отметим на линии котангенсов точку с абсциссой -1:


    Соединим эту точку с началом координат прямой и продолжим ее до пересечения с окружностью. Эта прямая пересечет окружность в точках, соответствующих углам поворота на и радиан:


    Поскольку эти точки отстоят друг от друга на расстояние, равное , то общее решение этого уравнения мы можем записать так:

    В приведенных примерах, иллюстрирующих решение простейших тригонометрических уравнений были использованы табличные значения тригонометрических функций.

    Однако, если в правой части уравнения стоит не табличное значение, то мы в общее решение уравнения подставляем значение :





    ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ:

    Отметим на окружности точки, ордината которых равна 0:


    Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна 1:


    Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна -1:


    Так как принято указывать значения, наиболее близкие у нулю, решение запишем так:

    Отметим на окружности точки, абсцисса которых равна 0:


    5.
    Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна 1:


    Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна -1:


    И чуть более сложные примеры:

    1.

    Синус равен единице, если аргумент равен

    Аргумент у нашего синуса равен , поэтому получим:

    Разделим обе части равенства на 3:

    Ответ:

    2.

    Косинус равен нулю, если аргумент косинуса равен

    Аргумент у нашего косинуса равен , поэтому получим:

    Выразим , для этого сначала перенесем вправо с противоположным знаком:

    Упростим правую часть:

    Разделим обе части на -2:

    Заметим, что перед слагаемым знак не меняется, поскольку k может принимать любые целые значения.

    Ответ:

    И в заключение посмотрите видеоурок "Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью тригонометрической окружности"

    На этом разговор о решении простейших тригонометрических уравнений мы закончим. Следующий раз мы с вами поговорим о том, как решать .

    Урок комплексного применения знаний.

    Цели урока.

    1. Рассмотреть различные методы решения тригонометрических уравнений.
    2. Развитие творческих способностей учеников путем решения уравнений.
    3. Побуждение учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

    Оборудование: экран, проектор, справочный материал.

    Ход урока

    Вводная беседа.

    Основным методом решения тригонометрических уравнений является сведения их простейшим. При этом применяются обычные способы, например, разложения на множители, а также приемы, используемые только для решения тригонометрических уравнений. Этих приемов довольно много, например, различные тригонометрические подстановки, преобразования углов, преобразования тригонометрических функций. Беспорядочное применение каких-либо тригонометрических преобразований обычно не упрощает уравнение, а катастрофически его усложняет. Чтобы выработать в общих чертах план решения уравнения, наметить путь сведения уравнения к простейшему, нужно в первую очередь проанализировать углы – аргументы тригонометрических функций, входящих в уравнение.

    Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать тригонометрические уравнения наиболее подходящим методом.

    II. (С помощью проектора повторяем методы решения уравнений.)

    1. Метод приведения тригонометрического уравнения к алгебраическому.

    Необходимо выразить все тригонометрические функции через одну, с одним и тем же аргументом. Это можно сделать с помощью основного тригонометрического тождества и его следствий. Получим уравнение с одной тригонометрической функцией. Приняв ее за новую неизвестную, получим алгебраическое уравнение. Находим его корни и возвращаемся к старой неизвестной, решая простейшие тригонометрические уравнения.

    2. Метод разложения на множители.

    Для изменения углов часто бывают полезны формулы приведения, суммы и разности аргументов, а также формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и наоборот.

    sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

    3. Метод введения дополнительного угла.

    4. Метод использования универсальной подстановки.

    Уравнения вида F(sinx, cosx, tgx) = 0 сводятся к алгебраическому при помощи универсальной тригонометрической подстановки

    Выразив синус, косинус и тангенс через тангенс половинного угла. Этот прием может привести к уравнению высокого порядка. Решение которого затруднительно.

    Урок и презентация на тему: "Решение простейших тригонометрических уравнений"

    Дополнительные материалы
    Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

    Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
    Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
    Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

    Что будем изучать:
    1. Что такое тригонометрические уравнения?

    3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
    4. Однородные тригонометрические уравнения.
    5. Примеры.

    Что такое тригонометрические уравнения?

    Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.

    Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.

    Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:

    1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:

    X= ± arccos(a) + 2πk

    2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:

    3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk

    5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk

    Для всех формул k- целое число

    Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.

    Пример.

    Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2

    Решение:

    А) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде:

    Решение этого уравнения будет: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

    Из таблицы значений получаем: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

    Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

    Тогда x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

    Ответ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, где n-целое число. (-1)^n – минус один в степени n.

    Ещё примеры тригонометрических уравнений.

    Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

    Решение:

    А) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:

    X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk

    Ответ: x=5πk, где k – целое число.

    Б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3

    3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

    Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.

    Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке .

    Решение:

    Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

    4x= ± π/4 + 2πk;

    X= ± π/16+ πk/2;

    Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок .
    При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
    При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.

    Ответ: x= π/16, x= 9π/16

    Два основных метода решения.

    Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.

    Решим уравнение:

    Решение:
    Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).

    В результате замены получим: t 2 + 2t -1 = 0

    Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3

    Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.

    X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

    Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

    Пример решения уравнения

    Решить уравнений: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

    Решение:

    Воспользуемся тождеством: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

    Наше уравнение примет вид:2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

    2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

    Введем замену t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

    Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2

    Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

    Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.

    Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

    Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

    Однородные тригонометрические уравнения.

    Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.

    Уравнения вида

    однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

    Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x): Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
    Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.

    Решить уравнение:
    Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

    Решение:

    Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

    Тогда нам надо решить два уравнения:

    Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

    Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

    Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):

    1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

    Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

    Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?
    Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!

    1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде

    2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:


    Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:

    Решить пример №:3

    Решить уравнение:
    Решение:

    Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:

    Делаем замену переменной t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

    Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1

    Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

    Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

    Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

    Решить пример №:4

    Решить уравнение:

    Решение:
    Преобразуем наше выражение:


    Решать такие уравнение мы умеем: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

    Ответ: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

    Решить пример №:5

    Решить уравнение:

    Решение:
    Преобразуем наше выражение:


    Введем замену tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

    Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2

    Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
    2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

    2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

    Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

    Задачи для самостоятельного решения.

    1) Решить уравнение

    А) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7

    2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].

    3) Решить уравнение: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

    4) Решить уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

    5) Решить уравнение:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

    6)Решить уравнение:cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)