Y ax2 c график функции. Презентация «Функция y=ax2, ее график и свойства

Методическая разработка урока алгебры в 9 классе.

Плохой учитель преподносит истину, хороший учит её добывать.

А.Дистервег

Учитель : Нетикова Маргарита Анатольевна, учитель математики ГБОУ школа №471 Выборгского района Санкт- Петербурга.

Тема урока: «График функции y = ax 2 »

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цель: научить учащихся строить график функцииy = ax 2 .

Задачи:

Обучающие: сформировать умение строить параболу y = ax 2 и установить закономерность между графиком функции y = ax 2

и коэффициентом а.

Развивающие: развитие познавательных умений, аналитического и сравнительного мышления, математической грамотности, способности обобщать и делать выводы.

Воспитывающие: воспитание интереса к предмету, аккуратности, ответственности, требовательности к себе и другим.

Планируемые результаты:

Предметные: уметь по формуле определять направление ветвей параболы и строить её с помощью таблицы.

Личностные: уметь отстаивать свою точку зрения и работать в парах, в коллективе.

Метапредметные: уметь планировать и оценивать процесс и результат своей деятельности, обрабатывать информацию.

Педагогические технологии: элементы проблемного и опережающего обучения.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, раздаточные материалы.

1.Формула корней квадратного уравнения и разложение квадратного трёхчлена на множители.

2.Сокращение алгебраических дробей.

3.Свойства и график функции y = ax 2 , зависимость направления ветвей параболы, её «растяжения» и «сжатия» вдоль оси ординат от коэффициента a .

Структура урока.

1.Организационная часть.

2.Актуализация знаний:

Проверка домашнего задания

Устная работа по готовым чертежам

3.Самостоятельная работа

4.Объяснение нового материала

Подготовка к изучению нового материала (создание проблемной ситуации)

Первичное усвоение новых знаний

5.Закрепление

Применение знаний и умений в новой ситуации.

6.Подведение итогов урока.

7.Домашнее задание.

8.Рефлексия урока.

Технологическая карта урока алгебры в 9 классе по теме: «График функции y = ax 2 »

Этапы урока

Задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД

1.Организационная часть

1 минута

Создание рабочего настроения в начале урока

Здоровается с учениками,

проверяет их подготовку к уроку, отмечает отсутствующих, записывает на доске дату.

Готовятся к работе на уроке, приветствуют учителя

Регулятивные:

организация учебной деятельности.

2.Актуализация знаний

4 минуты

Проверить выполнение домашнего задания, повторить и обобщить изученный на прошлых уроках материал и создать условия для успешного выполнения самостоятельной работы.

Собирает тетради у шести учеников (выборочно по два с каждого ряда) для проверки домашнего задания на оценку (приложение 1), затем работает с классом на интерактивной доске

(приложение 2) .

Шесть учащихся сдают на проверку тетради с домашним заданием, затем отвечают на вопросы фронтального опроса (приложение 2) .

Познавательные:

приведение знаний в систему.

Коммуникативные:

умение прислушиваться к мнению окружающих.

Регулятивные:

оценивание результатов своей деятельности.

Личностные:

оценивание уровня усвоения материала.

3.Самостоятельная работа

10 минут

Проверить умение раскладывать на множители квадратный трёхчлен, сокращать алгебраические дроби и описывать некоторые свойства функций по её графику.

Раздаёт учащимся карточки с индивидуальным дифференцированным заданием (приложение 3) .

и листочки для решения.

Выполняют самостоятельную работу, самостоятельно выбирая уровень сложности упражнений по баллам.

Познавательные:

Личностные:

оценивание уровня усвоения материала и своих возможностей.

4.Объяснение нового материала

Подготовка к изучению нового материала

Первичное усвоение новых знаний

Создание благоприятной обстановки для выхода из проблемной ситуации,

восприятия и осмысления нового материала,

самостоятельного

прихода к правильному выводу

Итак, вы умеете строить график функции y = x 2 (графики заранее построены на трёх досках). Назовите основные свойства этой функции:

3. Координаты вершины

5. Промежутки монотонности

Чему в данном случае равен коэффициент при x 2 ?

На примере квадратного трёхчлена вы видели, что это совершенно не обязательно. Каким он может быть по знаку?

Приведите примеры.

Как будут выглядеть параболы с другими коэффициентами, вам предстоит узнать самим.

Лучший способ изучить

что-либо–это открыть самому.

Д.Пойа

Делимся на три команды (по рядам), выбираем капитанов, которые выходят к доске. Задание для команд написано на трёх досках, соревнование начинается!

В одной системе координат построить графики функций

1 команда:

а)y=x 2 б)y= 2x 2 в)y= x 2

2 команда:

а)y= - x 2 б)y=-2x 2 в)y= - x 2

3 команда:

а)y=x 2 б)y=4x 2 в)y=-x 2

Задание выполнено!

(приложение 4) .

Найдите функции, обладающие одинаковыми свойствами.

Капитаны советуются со своими командами.

От чего это зависит?

А чем же эти параболы всё-таки различаются и почему?

От чего зависит «толщина» параболы?

От чего зависит направление ветвей параболы?

Будем условно называть график а) «исходным». Представьте себе резинку: если её растягивать, она становится тоньше. Значит, график б) получен растяжением исходного графика вдоль оси ординат.

Как получен график в)?

Значит, при x 2 может стоять любой коэффициент, который влияет на конфигурацию параболы.

Вот и тема нашего урока звучит так:

«График функции y = ax 2 »

1. R

4. Ветви вверх

5. Убывает на (-

Возрастает на , а возрастание функции выполняется на промежутке. Значения данной функции охватывают всю положительную часть действительной оси, нулю она равна в точке, а наибольшего значения не имеет.

На слайде 15 описываются свойства функции y=ax 2 , если отрицательный. Отмечается, что ее график также проходит через начало координат, но все его точки, кроме, лежат в нижней полуплоскости. Отмечена симметричность графика относительно оси, и противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. Возрастает функция на промежутке, убывает на. Значения данной функции лежат в промежутке, нулю она равна в точке, а наименьшего значения не имеет.

Обобщая рассмотренные характеристики, на слайде 16 выводится, что ветви параболы направлены вниз при, а вверх - при. Парабола симметрична относительно оси, а вершина параболы располагается в точке ее пересечения с осью. У параболы y=ax 2 вершина - начало координат.

Также важный вывод о преобразованиях параболы отображается на слайде 17. На нем представлены варианты преобразований графика квадратичной функции. Отмечено, что график функции y=ax 2 преобразуется симметричным отображением графика относительно оси. Также возможно сжатие или растяжение графика относительно оси.

На последнем слайде делаются обобщающие выводы о преобразованиях графика функции. Представлены выводы о том, что график функции получается симметрическим преобразованием относительно оси. А график функции получается из сжатием или растяжением исходного графика от оси. При этом растяжение от оси в раз наблюдается в случае, когда. Сжатием к оси в 1/a раз график образуется в случае.

Презентация «Функция y=ax 2 , ее график и свойства» может быть использована учителем в качестве наглядного пособия на уроке алгебры. Также данное пособие хорошо раскрывает тему, давая углубленное понимание предмета, поэтому может быть предложена для самостоятельного изучения учениками. Также данный материал поможет учителю дать объяснение в ходе дистанционного обучения.

ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Решение.

График функции - парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, если и вниз, если Значение определяет ординату вершины параболы. Если то вершина параболы находится над осью абсцисс, а если меньше нуля, то ниже. Таким образом, получаем, ответ: A - 4, Б - 1, В - 2, Г - 3.

Ответ: 4123.

Ответ: 4123

y = ax 2 + bx + c a и c .

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

Ответ: 431

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c .

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

Ответ: 143

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c a и c .

Графики

Коэффициенты

Решение.

c x c Таким образом, графикам соответствуют следующие коэффициенты: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

Ответ: 321

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c .

Графики

Коэффициенты

Решение.

Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c соответствует значению функции в точке x = 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 4, Б - 2, В - 3.

Ответ: 423.

Ответ: 423

На рисунках изображены графики функций вида y=ax +bx+c . Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

Решение.

График функции - парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, если и вниз, если . Значение определяет ординату вершины параболы. Если , то вершина параболы находится над осью абсцисс, а если , то ниже. Таким образом, получаем ответ: A - 3, Б - 2, В - 1.

Ответ: 321

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Ответ: 321.

Ответ: 321

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Ответ: 231.

Ответ: 231

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А	Б	В

Решение.

Ответ: 123.

Ответ: 123

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Ответ: 312.

Ответ: 312

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 2, Б - 1, В - 3.

Ответ: 213.

Ответ: 213

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

A	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 2, Б - 3, В - 1.

Ответ: 231.

Ответ: 231

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3.

Ответ: 123.

Ответ: 123

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

A	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 2, В - 1.

Ответ: 321

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 2, В - 1.

Ответ: 321.

Ответ: 321

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3.

Ответ: 123.

Ответ: 123

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3.

Конспект урока по алгебре. 9 класс

Тема урока:

«Функция y=ax 2 , ее график и свойства»

Цель урока: организовать деятельность учащихся по формированию умений построения графика функции y=ax² с помощью преобразований, изучению свойств функции y=ax² и применению их к решению задач.

Задачи урока:

Образовательная: создать условия для формирования и закрепления навыков построения и чтения графика функции y=аx 2 .

Развивающая: создать условия для развития умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание.

Воспитательная: создать условия для развития познавательного интереса, способствовать развитию интеллектуальных способностей.

УУД:

Познавательные:

уметь ориентироваться в своей системе знаний

добывать новые знания.

Регулятивные:

уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

проговаривать последовательность действий на уроке;

работать по составленному плану;

планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей;

высказывать свое предположение.

Коммуникативные:

уметь выражать свои мысли в устной форме;

слушать и понимать речь других.

Личностные:

систематизация и оценивание новой информации

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

1. организационный

Цель: Подготовка учащегося к работе.

Методы: Словесные

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Примечание

Здравствуйте!

Все знаете телевизионную игру на канале ТНТ «Где логика?» ведущий

Поиграем.

Что общего?

Рис.1

Рис.2

Приветствуют учителя.

Ответ: Россия

Ответ: молоко

2. Актуализация знаний:

Цель: Обеспечение мотивации к познавательной деятельности и подготовка к усвоению нового материала.

Методы: словесные, наглядные.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Примечание

Ребята, попытайтесь изобразить траекторию движения снаряда, выпущенного и орудия, ствол которого направлен под углом 45 градусов к горизонту.

Посмотрите на картинку

Что общего можно заметить в них?

А что эти линии вам напоминают?

Вспомните, как они называются?

Графиком какой функции является парабола?

А какой формулой она задается?

Сегодня на уроке мы продолжим изучение квадратичной функции, рассмотренной в курсе 8 класса. И, чтобы узнать, как звучит тема нашего урока, посмотрите на следующие примеры функций. Что в них общего и чем они различаются?

Значит, мы будем рассматривать функции, которые отличаются от функции y=x 2 на коэффициент перед x 2 . Обозначим этот коэффициент буквой а. Итак, какой формулой тогда будут заданы такие функции?

Тема нашего урока:

Какие цели поставим перед собой?

Сегодня на уроке мы выясним, как выглядят графики функций вида y=аx 2 , узнаем их особенности и рассмотрим их свойства.

Каждый делает рисунок в тетради и сравнивает его с рисунком на доске или слайде.

Похожие формы линий

Параболы

Квадратичной

y=x 2

Везде есть переменная x 2 , но перед x 2 стоят разные числа

y=аx 2

Записывают тему урока

Узнать, как строится график функции y=аx 2 , выяснить свойства функции

у;.

Тема урока:

«Функция y=ax 2 , ее график и свойства»

3. Постановка учебной задачи.

Цель: Постановка учебной задачи путем использования ранее выработанных навыков применительно к новой ситуации

Методы: словесные, наглядные.

Одной из важных функций является квадратичная функция.

Квадратичной называется функция вида у= аx 2 +bx+c, где х - независимая переменная, a, b, c - некоторые числа, а не равно 0. Изучение квадратичной функции начнем с частного случая - функции y=аx 2 , (это случай, когда коэффициенты b и c квадратичной функции равны 0).

При а=1, функция примет вид y=x 2 ,которую мы уже изучали в прошлом году. Как мы знаем, ее графиком является парабола.

Для того, чтобы выяснить свойства и особенности графиков функции y=аx 2 в зависимости от коэффициента а, рассмотрим следующие примеры.

Слушают учителя

Функция y=аx 2 -частный случай квадратичной функции у= аx 2 +bx+c.

4. «Открытие» нового знания.

Цель: Отработка алгоритма построения графика функции y=ax 2 .

Методы: Словесные, объяснительно-иллюстративные.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Примечание

Рассмотрим графики функций y=x 2 , y=2x 2 , y=1/2x 2 и исследуем их свойства.

Для этого построим в одной системе координат их графики.

Внимательно посмотрим на значения всех трех функций в таблице и на построенные графики функций. Что в них общего? В чем отличия?

Давайте попробуем сформулировать выводы и свойства функции y=аx 2 . Причем, отметим, что коэффициент а>0.

Но сначала на следующем рисунке посмотрим, как параболы с коэффициентом а>1 расположены по одну сторону от графика функции у= x 2 , а параболы с коэффициентом 0<а<1 - по другую.

Вывод: График функции у=a x 2 2 растяжением его от оси Ох в a раз, если а>1.

Вывод: График функции у=a x 2 можно получить из графика функции у=x 2 сжатием его к оси Ох в 1/a раз, если 0<а<1.

Свойства функции у=a x 2 , если коэффициент а> 0.

Теперь построим в одной системе координат графики функций

y= - 1/2x 2 и y=1/2x 2 .

Что заметили общего и чем параболы отличаются?

График функции у=-1/2х 2 симметричен графику функции у=1/2х 2 относительно оси Ох.

вывод: График функции у=ах 2 (а<0) симметричен графику функции у=ах 2 (а>0) относительно оси Ох.

можем сделать вывод, что в зависимости от знака коэффициента а зависит направление ветвей параболы. Если а>0, то ветви параболы направлены вверх, а если а<0, то ветви параболы направлены вниз.

Итак, мы рассмотрели особенности и свойства графиков функции y=аx 2 в зависимости от коэффициента а.

Ученики строят в тетради графики по значениям из таблицы в учебнике в одной системе координат и подписывает каждую параболу. Параллельно ученики комментируют свои действия.

Все три параболы проходят через точку с координатами (0; 0), расположены вверх от оси Ох. Все значения функции y=2x 2 в 2 раза больше, чем у функции y=x 2 , а все значения функции y=1/2x 2 в 2 раза меньше, чем у функции y=x 2 ).

Записывают в таблицу

Читают в учебнике

Выполняют построение.

Обе функции проходят через начало координат, параболы имеют одинаковую форму, но расположены по разные стороны относительно оси Ох

Записывают в тетрадь

Ученики слушают объяснения свойств функции у=a x 2 и отвечают на вопросы учителя

Прием технологии развития критического мышления

Сводная таблица

y=аx 2

а> 1

y=аx 2

Выполняют тест

8. Домашнее задание.

Цель: Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Методы: Объяснение.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Примечание

Для закрепления темы в качестве домашнего задания следующее:

1. Запомнить записи в тетради.

2. Выполнить упражнение № 95 из учебника.

Записывают домашнее задание

9. Рефлексия

Цель: Подведение итогов урока, анализ и оценка деятельности.

Деятельность учителя

Деятельность учащегося

Примечание

Составим синквейн

(метод развития критического мышления)

Составляют и озвучивают

синквейн

Функция у=a x 2

Квадратичная, симметричная, практичная

Возрастает, убывает, принимает

Частный случай у= аx 2 +bx+c.

Парабола.